Taylor expansion for Call-By-Push-Value

The connection between the Call-By-Push-Value lambda-calculus introduced by Levy and Linear Logic introduced by Girard has been widely explored through a denotational view reflecting the precise ruling of resources in this language. We take a further step in this direction and apply Taylor expansion introduced by Ehrhard and Regnier. We define a resource lambda-calculus in whose terms can be used to approximate terms of Call-By-Push-Value. We show that this approximation is coherent with reduction and with the translations of Call-By-Name and Call-By-Value strategies into Call-By-Push-Value

An application of parallel cut elimination in multiplicative linear logic to the Taylor expansion of proof nets

We examine some combinatorial properties of parallel cut elimination in multiplicative linear logic (MLL) proof nets. We show that, provided we impose a constraint on some paths, we can bound the size of all the nets satisfying this constraint and reducing to a fixed resultant net. This result gives a sufficient condition for an infinite weighted sum of nets to reduce into another sum of nets, while keeping coefficients finite. We moreover show that our constraints are stable under reduction. Our approach is motivated by the quantitative semantics of linear logic: many models have been proposed, whose structure reflect the Taylor expansion of multiplicative exponential linear logic (MELL) proof nets into infinite sums of differential nets. In order to simulate one cut elimination step in MELL, it is necessary to reduce an arbitrary number of cuts in the differential nets of its Taylor expansion. It turns out our results apply to differential nets, because their cut elimination is essentially multiplicative. We moreover show that the set of differential nets that occur in the Taylor expansion of an MELL net automatically satisfies our constraints. Interestingly, our nets are untyped: we only rely on the sequentiality of linear logic nets and the dynamics of cut elimination. The paths on which we impose bounds are the switching paths involved in the Danos--Regnier criterion for sequentiality. In order to accommodate multiplicative units and weakenings, our nets come equipped with jumps: each weakening node is connected to some other node. Our constraint can then be summed up as a bound on both the length of switching paths, and the number of weakenings that jump to a common node

L'identité des preuves : normalisation, réseaux et séparation

La théorie de la démonstration présente divers systèmes formels de preuve permettant de représenter des démonstrations à l’aide d’objets rigoureusement définis, et dont la manipulation revêt divers intérêts. Nous nous proposons ici d’étudier la question — très débattue — de savoir à quelles conditions deux dérivations de ces systèmes représentent, décrivent, la même démonstration. Nous étudions en particulier deux propositions de réponses, avant de mettre chacune en perspective pour une meilleure compréhension des concepts et appareils sollicités. Ces deux solutions correspondent respectivement à une relation d’équivalence induite par le processus de normalisation des dérivations défini par Gentzen dans les années 1930, et à un quotient par une représentation graphique des dérivations due à Girard (dans les années 1980) que sont les réseaux de preuve

A geometry of calculus

L’informatique fondamentale et de la théorie de la démonstration. Deux approches sont menées : la première consiste à examiner les mécanismes d’approximation multilinéaires dans des systèmes issus du λ-calcul et de la Logique Linéaire. La seconde consiste à étudier les modèles topologiques pour les systèmes distribués et à les adapter aux algorithmes probabilistes. On étudie d’abord le développement de Taylor des réseaux de preuve de la Logique Linéaire. On introduit des méthodes de démonstration qui utilisent la géométrie de l’élimination des coupures des réseaux multiplicatifs, et qui permettent de manipuler des sommes infinies de réseaux de façon sûre et correcte, pour en extraire des propriétés sur les réductions qui sont à l’œuvre. Ensuite, nous introduisons un langage permettant de définir le développement de Taylor syntaxique pour l’Appel-Par-Pousse-Valeur (Call-By-Push-Value), en capturant certaines propriétés de la sémantique dénotationelle liées aux morphismes de coalgèbres. Puis nous nous intéressons aux systèmes distribués (à mémoire partagée, tolérants aux pannes), et au problème du Consensus. On utilise un modèle topologique qui permet d’interpréter la communication dans les complexes simpliciaux, eton l’adapte de façon à transformer les résultats d’impossibilité bien connus en résultats de borne inférieure de probabilité pour des algorithmes probabilistesThis Phd thesis presents a quantitative study of various computation models of fundamental computer science and proof theory, in two principad directions :the first consists in the examination of mecanismis of multilinear approximations in systems related to λ-calculus and Linear Logic. The second consists in a study of topological models for asynchronous distributed systems, and probabilistic algorithms. We first study Taylor expansion in Linear Logic proof nets. We introduce proof methods using the geometry of cut elimination in multiplicativenets, and which allow to work with infinite sums of nets in a safe and correct way,in order to extract properties about reduction. Then, we introduce a language allowing us to define Taylor expansion for Call-By-Push-Value, while capturing some properties of the denotational semantics, related to coalgebras morphisms.We focus then on fault tolerant-distributed systems with shared memory, andto Consensus problem. We use a topological model which allows to interpret communication with simplicial complexes, and we adapt in so as to transform the well-known impossibility results in lower bounds for probabilistic algorithm

Une géométrie du calcul : Réseaux de preuve, Appel-Par-Pousse-Valeur et Topologie du consensus

This Phd thesis presents a quantitative study of various computation modelsof fundamental computer science and proof theory, in two principad directions :the first consists in the examination of mecanismis of multilinear approximationsin systems related toλ-calculus and Linear Logic. The second consists in a studyof topological models for asynchronous distributed systems, and probabilisticalgorithms. We first study Taylor expansion in Linear Logic proof nets. Weintroduce proof methods using the geometry of cut elimination in multiplicativenets, and which allow to work with infinite sums of nets in a safe and correct way,in order to extract properties about reduction. Then, we introduce a languageallowing us to define Taylor expansion for Call-By-Push-Value, while capturingsome properties of the denotational semantics, related to coalgebras morphisms.We focus then on fault tolerant-distributed systems with shared memory, andto Consensus problem. We use a topological model which allows to interpretcommunication with simplicial complexes, and we adapt in so as to transformthe well-known impossibility results in lower bounds for probabilistic algorithms.Cette thèse propose une étude quantitative de plusieurs modèles de calcul de l’informatique fondamentale et de la théorie de la démonstration. Deux approches sont menées : la première consiste à examiner les mécanismes d’approximation multilinéaires dans des systèmes issus du λ-calcul et de la Logique Linéaire. La seconde consiste à étudier les modèles topologiques pour les systèmes distribués et à les adapter aux algorithmes probabilistes. On étudie d’abord le développement de Taylor des réseaux de preuve de la Logique Linéaire. On introduit des méthodes de démonstration qui utilisent la géométrie de l’élimination des coupures des réseaux multiplicatifs, et qui permettent de manipuler des sommes infinies de réseaux de façon sûre et correcte, pour en extraire des propriétés sur les réductions qui sont à l’œuvre. Ensuite, nous introduisons un langage permettant de définir le développement de Taylor syntaxique pour l’Appel-Par-Pousse-Valeur (Call-By-Push-Value), en capturant certaines propriétés de la sémantique dénotationelle liées aux morphismes de coalgèbres. Puis nous nous intéressons aux systèmes distribués (à mémoire partagée, tolérants aux pannes), et au problème du Consensus. On utilise un modèle topologique qui permet d’interpréter la communication dans les complexes simpliciaux, et on l’adapte de façon à transformer les résultats d’impossibilité bien connus en résultats de borne inférieure de probabilité pour des algorithmes probabilistes

Taylor expansion, finiteness and strategies

International audienc

An application of parallel cut elimination in unit-free multiplicative linear logic to the Taylor expansion of proof nets

International audienceWe examine some combinatorial properties of parallel cut elimination in multiplicative linear logic (MLL) proof nets. We show that, provided we impose some constraint on switching paths, we can bound the size of all the nets satisfying this constraint and reducing to a fixed resultant net. This result gives a sufficient condition for an infinite weighted sum of nets to reduce into another sum of nets, while keeping coefficients finite. We moreover show that our constraints are stable under reduction. Our approach is motivated by the quantitative semantics of linear logic: many models have been proposed, whose structure reflect the Taylor expansion of multiplicative exponential linear logic (MELL) proof nets into infinite sums of differential nets. In order to simulate one cut elimination step in MELL, it is necessary to reduce an arbitrary number of cuts in the differential nets of its Taylor expansion. It turns out our results apply to differential nets, because their cut elimination is essentially multiplicative. We moreover show that the set of differential nets that occur in the Taylor expansion of an MELL net automatically satisfy our constraints. In the present work, we stick to the unit-free and weakening-free fragment of linear logic, which is rich enough to showcase our techniques, while allowing for a very simple kind of constraint: a bound on the number of cuts that are crossed by any switching path. 2012 ACM Subject Classification Theory of computation → Linear logi